Дифференцирование под знаком интеграл

Как объяснить гуманитарию, что такое дифференцирование и интегрирование в физике?

дифференцирование под знаком интеграл

Дифференцирование под знаком интеграла. При изучении свойств функции (1), которая задана интегралом, содержащим параметр у, важное. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу .. а производной косинуса - синус со знаком "-", вторая теорема дает нам следующее. (2) интегрирование по частям, основанное на формуле дифференцирования произведения Теорема о замене переменный под знаком интеграла.

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий. Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интетрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова.

Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книд-ского примерно до н. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Если бы был известен закон движения, то есть зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью s b - s.

Глава 7. Интегрирование и дифференцирование

Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции v t указать не удается, то действовать приходится совсем. Будем рассуждать следующим образом. Если промежуток [а;b] отдельными моментами t0, t1, Суммы специального вида 4 называются интегральными суммами для функции v t на промежутке [a;b], а их предел 5получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом или определенным интегралом от функции v t на промежутке [a;b].

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению: Равенство 7 называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел 6 интеграл, а в правой-разность значений в концах b и a промежутка интегрирования функции s tпервообразной подынтегральной функции v t.

Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл 6 и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

дифференцирование под знаком интеграл

Интеграл 6 и формула 7 в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь S изображенной на рис. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы 8площадь S нижнего параболического треугольника. Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2: При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи.

Смысл интеграла и производной. В помощь студенту

Если изображенную на рис. В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход.

  • Дифференцирование интеграла по параметру под знаком интеграла
  • Дифференцирование под знаком интеграла
  • Производная интеграла

Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла. Мы хотим вычислить скорость V, до которой нужно разогнать тело ракетучтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты.

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл а также ее производная по параметру непрерывны в прямоугольнике Поэтому применима теорема 2 о дифференцировании интеграла по параметру при Имеем Положим Интегрируя no t от 0 до, получим Отсюда.

Найти производную для функции Применяя формулу бполучим: Интегрирование интеграла по параметру Теорема 3.

дифференцирование под знаком интеграл

Справедливость формулы 8 следует из равенства повторных интегралов, Пример 4. Проинтегрировать по параметру у интеграл в пределах от 0 до 1. Так как функция непрерывна в прямоугольникето применима теорема 3 об интегрировании интеграла по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 2. Тогда функция называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.

Интервал с, d может быть и бесконечным. Равномерная сходимость несобственного интеграла. Критерий Коши Определение 2.

Дифференцирование интеграла по параметру под знаком интеграла

Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Теорема 5 признак Вейерштрасса. Иссладова тъ на равномерную сходимость несобственный иктграл где я — параметр, Так как при любом произвольные вещественные числа, выполняется неравенство и интеграл сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл 5 равномерно сходится для всех 2.

Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра Свойство 1.

дифференцирование под знаком интеграл

Непрерывность несобственного интеграла по параметру.